第一章算术
大纲要求
1.整数
（1）整数及其运算；
（2）整除、公倍数、公约数；
（3）奇数、偶数；
（4）质数、合数.
2.分数、小数、百分数
3.比和比例
4.数轴与绝对值
以上系原文引自《全国硕士研究生入学统一考试管理类专业学位联考综合能力考试大纲》（以下简称《大纲》），可以供读者参考.大纲为我们的复习提供了基本的方向，但在实践中又不能过分地拘泥于大纲或者迷信大纲.例如，大纲中没有有理数和无理数的要求，但考试中曾经考查过；大纲中没有明确提及应用题，但考试中考的最多的就是应用题.所以，本书的架构以考试的实践为依据，对知识点进行了适当地增删调整，而并不拘泥于大纲的体例.
上述说明适用于本书所有章节，不再重复.
本章内容在每年的真题中直接考查的并不多，从这个角度说，本章属于一般重要的章节.但其中绝对值部分经常与其他章节的知识联合出题，整数、比例的知识则在应用题中大量地应用，这些知识都是非常重要的，从这个角度说，本章是比较重要的、基础性的章节.
1.1重要知识点
1.1.1实数的概念和性质
1.1.1.1实数的分类及基本概念
（1）自然数是非负整数集，是由正整数和零组成的.注意：自然数包括0.
（2）相邻整数必然一奇一偶.
（3）实数包括有理数与无理数.有理数是能表述为nm(n∈Z，m∈Z+)形式的数.而无理数是无限不循环小数.
（4）相反数：只有符号不同的两个数互为相反数.实数a的相反数为-a，0的相反数为0，相反数总是成对出现的.
（5）倒数：乘积为1的两个实数互为倒数.只有零没有倒数，其他任何实数都有倒数.
（4）非负数：若数a≥0，则称a为非负数.常见的非负数有三种：|a|≥0，a2≥0，a≥0.若几个非负数之和为0，则这些非负数均等于0.
1.1.1.2关于整除
（1）倍数、约数：当a能被b整除时，称a是b的倍数，b是a的约数.
（2）质数（素数）：只有１和它本身两个约数的数.
（3）除了最小质数2是偶数外，其余质数均为奇数.
（4）合数：除了1和它本身之外还有其他的约数的数.任何一个合数都能分解为若干个质数之积.
（5）关于公约数和公倍数，参见附录1.若两正整数的公约数只有1，则称其为互质数.
（6）常见的整除关系：
（a）能被2整除：个位为0,2,4,6,8，或者说，偶数.
（b）能被3整除：各位数字之和能被3整除.
（c）能被5整除：个位为0或5.
（d）能被9整除：各位数字之和能被9整除.
（e）能被10整除：个位为0.
1.1.2绝对值
1.1.2.1绝对值的定义
实数a的绝对值用|a|表示，
|a|=a，当a>0时，
0，当a=0时，
-a，当a<0时.
1.1.2.2绝对值的几何意义
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.数轴上的点与实数一一对应，数轴上的点表示的数,右边的总比左边的大.一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离就是这个数的绝对值.
1.1.2.3绝对值的性质
非负性：|a|≥0.
等价性：|-a|=|a|.
自比性：a|a|=|a|a=1,a>0,
-1,a<0.
基本不等式：|x|>a
?x>a
或x<-a(a>0);|x|<a
?-a<x<a(a>0).
三角不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.请读者自行讨论其等号成立的条件.
1.1.3比和比例
（1）比的定义：两个数相除，又叫这两个数的比.
（2）百分比：常把比值表示百分数，称百分数形式的比值为百分比.
（3）相等的比称为比例，记作ab=cd.
（4）比例的性质：对于比例ab=cd，有下列性质：
基本性质：ad=bc.
合比定理：a+bb=c+dd.
分比定理：a-bb=c-dd.
合分比定理：a+ba-b=c+dc-d.
关于比例增减性的关系，参见【例1.22】.
（5）正比和反比：若y=kx(k≠0)，则称y与x成正比，k称为比例系数；若y=kx(k≠0)，则称y与x成反比，k称为比例系数.
1.1.4平均值和均值定理
（1）算术平均值：n个数x1,x2,…,xn的算术平均值为x=x1+x2+…+xnn.
（2）几何平均值：n个正数x1,x2,…,xn的几何平均值为G=nx1x2…xn.
（3）均值定理：对于n个正数x1,x2,…,xn，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即x1+x2+…+xnn≥nx1x2…xn，当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立.
均值定理的两个重要推论：
（1）x1+x22≥x1x2，当且仅当x1=x2时等号成立.
（2）x+1x≥2(x>0)，当且仅当x=1时等号成立.
关于均值定理在不等式中的应用，见3.2.8节.
1.2题型与技巧
1.2.1奇数、偶数
【例1.1】关于x的方程ax2+bx+c=0没有整数根.
（1）a，c是偶数，b是奇数.（2）a，b是偶数，c是奇数.
【解析】答案是（B）.
对于条件（1），若其为真，假设方程有整数根.设根为偶数，则ax2为偶数，bx为偶数，方程的左边为“偶数+偶数+偶数=偶数”，在奇偶性上是合理的.所以该方程并非一定“没有整数根”.所以条件（1）不充分.
对于条件（2），若其为真，假设方程有整数根.则无论该根是奇数还是偶数，ax2+bx一定是偶数（想一想为什么），则方程的左边为“偶数+偶数+奇数=奇数”，无论如何不会等于方程右边的偶数0，所以上述假设不合理，该方程不会有整数根.可见条件（2）是充分的.
渤雄点睛
